Δυναμικό Lennard-Jones

Το δυναμικό Lennard-Jones αποτελεί ένα από τα πιο σημαντικά και διαδεδομένα μοντέλα για την περιγραφή των αλληλεπιδράσεων μεταξύ ουδέτερων ατόμων και μορίων. Εισήχθη από τον John Lennard-Jones στις αρχές του 20ού αιώνα, σε μια περίοδο όπου η κβαντομηχανική δεν είχε ακόμη αναπτυχθεί επαρκώς ώστε να επιτρέπει ακριβείς υπολογισμούς (Schwerdtfeger & Wales, 2024).

Η βασική ιδέα του δυναμικού είναι ότι η συνολική δύναμη μεταξύ δύο σωματιδίων μπορεί να διαχωριστεί σε δύο συνιστώσες: μια απωστική και μια ελκτική. Αυτό εκφράζεται μαθηματικά με τον τύπο του δυναμικού Mie:

$$ \phi_{LJ}(r) = \frac{A_n}{r^n} - \frac{B_m}{r^m}, \quad n > m $$

όπου ο πρώτος όρος περιγράφει την απώθηση και ο δεύτερος την έλξη (Atkins, 1998, p. 667; Schwerdtfeger & Wales, 2024). Το δυναμικό Lennard-Jones είναι μια ειδική περίπτωση όπου n=12 και m=6 (Atkins, 1998, p. 667).

Η παράμετρος σ (sigma), γνωστή και ως ακτίνα van der Waals, ορίζεται ως η απόσταση μεταξύ δύο σωματιδίων στην οποία το δυναμικό Lennard-Jones μηδενίζεται:

$$ \phi(\sigma) = 0 $$

Στο σημείο αυτό, οι ελκτικές και απωστικές αλληλεπιδράσεις εξισορροπούνται πλήρως, με αποτέλεσμα η συνολική δυναμική ενέργεια να είναι μηδενική (Schwerdtfeger & Wales, 2024).

Η παράμετρος σ συνδέεται άμεσα με την απόσταση ισορροπίας $ r_e $, δηλαδή την απόσταση στην οποία το δυναμικό αποκτά την ελάχιστη τιμή του (−ε). Από τη γενική μορφή του δυναμικού Lennard-Jones προκύπτει:

$$ \sigma = \left(\frac{m}{n}\right)^{\frac{1}{n-m}} r_e $$

Για την ειδική περίπτωση όπου έχουμε $ n = 12 $, $ m = 6 $, η παραπάνω σχέση γίνεται:

$$ \sigma = 2^{-1/6} r_e $$

ή ισοδύναμα:

$$ r_e = 2^{1/6} \sigma $$

Αναπαράσταση σε Python

system — Βλέπουμε ότι όταν τα δύο σωματίδια πλησιάζουν σε κοντινή απώσταση το δυναμικό απειρίζεται, ενώ το σημείο ισσοροπίας απέχει ένα σ(sigma), με τιμή ελαχίστου δυναμικού -ε, στην προκειμένη περίπτωση -1. Οι μονάδες στο γράφημα είναι κανονικοποιημένες.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Παράμετροι
epsilon = 1.0   # βάθος ελάχιστου
sigma = 1.0     # χαρακτηριστική απόσταση

# Απόσταση r 
r = np.linspace(0.9, 3.5, 1000)

# Lennard-Jones 
V = 4 * epsilon * ((sigma / r)**12 - (sigma / r)**6)

# Ελάχιστο θεωρητικό σημείο
r_min = 2**(1/6) * sigma
V_min = -epsilon

# Plot
plt.figure(figsize=(9,5))
plt.plot(r, V, label='Lennard-Jones potential', linewidth=2)


plt.axhline(0, color='black', linewidth=1)

# σ (όπου V=0)
plt.axvline(sigma, linestyle='--', label='σ (V=0)')

# minimum
plt.scatter(r_min, V_min, color='red', zorder=5, label='Minimum')

# labels
plt.title('Lennard-Jones Potential', fontsize=14)
plt.xlabel('r')
plt.ylabel('V(r)')


plt.ylim(-1.5, 5)

plt.grid(True)
plt.legend()

plt.show()

Βιβλιογραφία

Atkins, P. W. (1998). Physical chemistry (6th ed.). Oxford University Press.

Schwerdtfeger, P., & Wales, D. J. (2024). 100 years of the Lennard-Jones potential. Journal of Chemical Theory and Computation, 20(9), 3379–3405. https://doi.org/10.1021/acs.jctc.4c00135