Δύναμη Lennard-Jones

Η δύναμη που ασκείται μεταξύ δύο σωματιδίων τα οποία υπόκεινται στο δυναμικό Lennard-Jones ισούται με την αρνητικη παράγωο του δυναμικού ως προς την απόσταση (Atkins, 1998, p. 668). Η σχέση αυτή αποτελεί γενική αρχή της κλασικής μηχανικής και συνδέει τη δυναμική ενέργεια με τη δύναμη που δρα σε ένα σύστημα:

$$ F(r) = -\frac{dV(r)}{dr} $$

Εφαρμόζοντας την παραπάνω σχέση στο δυναμικό Lennard-Jones, προκύπτει η αναλυτική μορφή της δύναμης:

$$ F(r) = \frac{24\varepsilon}{r} \left[ 2\left(\frac{\sigma}{r}\right)^{12} - \left(\frac{\sigma}{r}\right)^6 \right] $$

ή ισοδύναμα:

$$ F(r) = 24\varepsilon \left[ \frac{2\sigma^{12}}{r^{13}} - \frac{\sigma^6}{r^7} \right] $$

Για πολύ μικρές αποστάσεις $$(r < r_e )$$ η δύναμη γίνεται απωστική, αντίθετα, για αποστάσεις $$(r > r_e)$$ η δύναμη γίνεται ελκτική (Bortoleto et al., 2016).

Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει το σημείο ισορροπίας του συστήματος. Η δύναμη μηδενίζεται στην απόσταση $ r = r_e $, η οποία, όπως έχει ήδη δειχθεί, ικανοποιεί τη σχέση:

$$ r_e = 2^{1/6} \sigma $$

Στο σημείο αυτό το δυναμικό λαμβάνει την ελάχιστη τιμή του και το σύστημα βρίσκεται σε σταθερή ισορροπία.

Αναπαράσταση της Δύναμης σε Python

force graph — Η δύναμη Lennard–Jones (πορτοκαλί) και το δυναμικό (μπλε) παρουσιάζονται σε ανηγμένες (αδιάστατες) μονάδες. Οι βασικές μετατροπές είναι: $ r^* = \frac{r}{\sigma} $, $ E^* = \frac{E}{\epsilon} $, $ F^* = \frac{F\sigma}{\epsilon} $.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Reduced distance r* = r/sigma
r = np.linspace(0.9, 3.0, 800)

# Dimensionless potential E/ε
w = 4 * ((1 / r)**12 - (1 / r)**6)

# Dimensionless force Fσ/ε
F = 24 * (2 * (1 / r)**12 - (1 / r)**6) / r

# Clip για να φαίνονται οι καμπύλες
w_plot = np.clip(w, -5, 5)
F_plot = np.clip(F, -5, 5)

# Minimum (dimensionless)
r_min = 2**(1/6)

plt.figure(figsize=(8,6))

plt.plot(r, w_plot, label=r'$w(r)/\epsilon$', linewidth=2)
plt.plot(r, F_plot, label=r'$F(r)\sigma/\epsilon$', linewidth=2)

plt.axhline(0, linewidth=0.8)
plt.axvline(r_min, linestyle='--', label=r'$r_{min}$')

plt.xlabel(r'$r/\sigma$')
plt.ylabel('E/ε')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.title('Lennard-Jones Potential and Force')

plt.ylim(-3, 3)
plt.show()

Βιβλιογραφία

Atkins, P. W. (1998). Physical chemistry (6th ed.). Oxford University Press.

Bortoleto, E., Prados, E., Seriacopi, V., Fukumasu, N., Lima, L., Machado, I., & Souza, R. (2016). Numerical modeling of adhesion and adhesive failure during unidirectional contact between metallic surfaces. Friction, 4, 1–12. https://doi.org/10.1007/s40544-016-0119-5

Schwerdtfeger, P., & Wales, D. J. (2024). 100 years of the Lennard-Jones potential. Journal of Chemical Theory and Computation, 20(9), 3379–3405. https://doi.org/10.1021/acs.jctc.4c00135