Exchange-Correlation Potential

1. Το πρόβλημα του \( E_{\text{XC}} \)

Στο θεώρημα Hohenberg–Kohn είδαμε το exchange–correlation functional:

\[ E_{\text{XC}}[n] \]

Ωστόσο, η ακριβής μορφή του δεν είναι γνωστή και αυτό σημαίνει ότι η DFT βασίζεται σε προσεγγίσεις.

2. Το μοντέλο του ομογενούς ηλεκτρονιακού αερίου

Υπάρχει μία περίπτωση όπου το exchange–correlation functional μπορεί να υπολογιστεί ακριβώς. Αυτή η περίπτωση είναι το uniform electron gas όπου ισχύει:

\[ n(\mathbf{r}) = \text{constant} \]

Παρότι αυτό δεν είναι ρεαλιστικό για πραγματικά υλικά, παρέχει κρίσιμη πληροφορία για την κατασκευή προσεγγίσεων.

3. Local Density Approximation (LDA)

Η βασική ιδέα της LDA είναι ότι κάθε σημείο του χώρου "συμπεριφέρεται" σαν ένα ομογενές ηλεκτρονιακό αέριο με τοπική πυκνότητα \( n(\mathbf{r}) \).

Έτσι, το δυναμικό exchange–correlation προσεγγίζεται ως:

\[ V_{\text{XC}}(\mathbf{r}) = V_{\text{XC}}^{\text{electron gas}}[n(\mathbf{r})] \]

Χαρακτηριστικά LDA

• Χρησιμοποιεί μόνο την τοπική πυκνότητα \( n(\mathbf{r}) \)
• Αγνοεί χωρικές μεταβολές
• Λειτουργεί αρκετά καλά για στερεά

4. Generalized Gradient Approximation (GGA)

Η GGA επεκτείνει την LDA συμπεριλαμβάνοντας πληροφορία για τη μεταβολή της πυκνότητας, δηλαδή λαμβάνει υπόψη ότι η πυκνότητα δεν είναι ομογενής:

Βιβλιογραφία

David S. Sholl, Janice A. Steckel, Density Functional Theory: A Practical Introduction, 2009, Wiley.